抛物线「抛物线的基本知识点」

抛物线「抛物线的基本知识点」

大家好，关于抛物线很多朋友都还不太明白，今天小编就来为大家分享关于抛物线的基本知识点的知识，希望对各位有所帮助！

1抛物线定义是什么？

抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹。

抛物线的规律总结：

①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线。

②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键。

抛物线的性质：

1、抛物线是镜像对称的，并且当定向大致为U形，如果不同的方向，它仍然是抛物线。

2、垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。

3、抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。并且，所有抛物线都是几何相似的。

以上内容参考：百度百科-抛物线

2抛物线的基本知识点有哪些？

一、抛物线的基本知识点

1、定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

2、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0).

3、抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

4、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

5、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

6、常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)。

二、抛物线的几何变换

3什么是抛物线?

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示 *** ，比如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

定义

平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或 *** )称之为抛物线。另外

,

F

称为"抛物线的焦点",

l

称为"抛物线的准线"。

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

编辑本段标准方程

抛物线的标准方程有四个：

抛物线

右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=—2px

上开口抛物线:x^2=2py

下开口抛物线:x^2=—2py

p为焦准距（p0）

在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2；

在抛物线y^2=—2px

中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2；

在抛物线x^2=2py

中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2；

在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；

编辑本段相关参数

(对于向右开口的抛物线)

离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

通径：2P

；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦

定义域（X≥0）

值域（Y∈R)

编辑本段解析式求法

以焦点在X轴上为例

知道P（x0,y0)

令所求为y^2=2px

则有y0^2=2px0

∴2p=y0^2/x0

∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x

编辑本段光学性质

经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

编辑本段面积和弧长公式

抛物线

面积

Area=2ab/3

弧长

Arc

length

ABC

=√(b^2+16a^2

)/2+b^2/8a

ln((4a+√(b^2+16a^2

))/b)

编辑本段其他

抛物线：y

=

ax^2

+

bx

+

c

（a≠0)

就是y等于ax

的平方加上

bx再加上

c

a

0时开口向上

a

0时开口向下

c

=

0时抛物线经过原点

b

=

0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y

=

a（x-h）^2

+

k

就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是

：yy0=p(x+x0)

一般用于求更大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)

准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px

y^2=-2px

x^2=2py

x^2=-2py

编辑本段对称性解题

我们知道，抛物线y

=

ax^2

+

bx

+

c

(

a

≠0

)是轴对称图形，它的对称轴是直线x

=

-

b/

2a

，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

例1

已知抛物线的对称轴是x

=1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

分析

设抛物线的解析式为y

=

ax^2

+

bx

+

c

。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x

=1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y

=

a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3

=

-3a。故a

=-1。

∴y

=

-（x+1）（x-3），即

y

=

-

x^2

+

2x

+3。

例2

已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x

=0时y的值。

分析

要求当x

=0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x

=

1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y

=

a（x-1）2+

6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a

+

6

=

2。故a

=

-1。

∴y

=

-(x-1)^2+

6，即

y

=

-

x^2

+

2x

+5。

∴当x

=0时，y

=

5。

例3

已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。

分析

要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x

=

-1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y

=

a（x+1）^2+

4[或y

=

a（x+3）（x-1）]。

∵点（1，0）在抛物线上，

∴4a

+

4

=

0。∴a

=

-1。

∴y

=

-（x+1）2+

4，即

y

=

-

x2

-

2x

+3。

∴点C的坐标为（0，3）。

∴S△ABC

=

1/2×（4×3）=

6。

例4

已知抛物线y

=

ax2

+

bx

+

c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2

+

bx

+

c

=0的两个根，求四边形ABCD的面积。

分析

要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x

=

1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y

=

a（x-1）2+

4[或y

=

a（x+1）（x-3）]。

∵点（-1，0）在抛物线上，

∴4a

+

4

=

0。故a

=

-1。

∴y

=

-(x-1)^2+

4，即

y

=

-

x^2

+

2x

+3。

∴点B的坐标为（0，3）。

连结OA

，则S四边形ABCD

=

S△BOC

+

S△AOB

+

S△AOD

=

1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9

编辑本段相关结论

过抛物线y^2=2px(p0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

①

x1*x2

=

p^2/4

,

y1*y2

=

—P^2

②

焦点弦长：|AB|

=

x1+x2+P

=

2P/[(sinθ)^2]

③

（1/|FA|）+（1/|FB|）=

2/P

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

⑤焦半径：|FP|=x+p/2

（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│

⑦△=b^2-4ac

⑴△=b^2-4ac0有两个实数根

⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

⑶△=b^2-4ac0没实数根

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

编辑本段定义解题

例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：

|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）

4抛物线所有公式

一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）

顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）

交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

切线方程：

抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为：  。

抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。

扩展资料：

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：

① 直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；

（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 要在直线过焦点时才能成立）

② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；

⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；

⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；

⑦△=b2-4ac；

⑴△=b2-4ac0有两个实数根；

⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；

⑶△=b2-4ac0没实数根。

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；

⑨标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0）

（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ， y=（y+y0）/2 ）

参考资料：百度百科——抛物线

5抛物线公式大全

抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的 *** 。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线方程公式

一般式:ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0）

顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）

交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

抛物线标准方程

右开口抛物线：y^2=2px

左开口抛物线:y^2= -2px

上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）

下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）

[p为焦准距（p0）]

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1；

②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

6什么是抛物线？

1.什么是抛物线?

平面内,到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或 *** )称之为抛物线.

另外,f称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面

直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。